[대학수학] 수치적 방법

[수치 미분]

수치미분

- 함수 y = f(x)가 x = a에서 미분 가능할 때, |△x|가 작으면 다음이 성립

         f(a + △x) - f(a - △x)
f'(a) ≒ ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
                 2 * △x

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[뉴턴 방법]

• f(x) = 0의 근을 빠르게 찾을 수 있음
• 근의 공식이 없는 경우 유용
• f(a) = f'(a) = 0인 경우(중근인 경우) 수렴하는 속도가 느려짐

뉴턴 방법

- 함수 y = f(x)가 미분 가능하고 도함수 y = f'(x)가 연속

- 이때, a1 = a고 an+1 = an - f(an) / f'(an) (단, n >= 1)으로 정의된 수열 an의 극한이

- lim an = z이면, f'(z) != 0일 때, f(z) = 0

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[경사법]

경사법

- 열린 구간에서 정의된 미분 가능한 함수 y = f(x) 와 실수 z > 0에 대해서 다음이 성립

1. y = f(x) 가 f'(x) = 0을 만족하는 x가 x = r로 유일하고, x = r에서 극댓값을 가짐
   따라서, x = r에서 최댓값을 가짐
   a1 = z이고, an+1 = an + z * f'(an) 단, n >= 1으로 정의된 수열 an의 극한 lim an이 수렴하면
   lim an = z, f'(z) = 0
   
2. y = f(x)가 f'(x) = 0을 만족하는 x가 x = r로 유일하고, x = r에서 극에서 극솟값을 가짐
   따라서 x = r에서 최솟값을 가짐
   a1 = z이고 an+1 = an - z * f'(an) 단, n >= 1으로 정의된 수열 an의 극한 lim an이 수렴하면
   lim an = r, f'(r) = 0