[대학수학] 평균값 정리와 함수의 최대 최소

[평균값 정리]

• 평균변화율 → 할선의 기울기
• 순간변화율 → 접선의 기울기

평균값 정리

- 함수 y = f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 열린 구간 (a, b)에서 미분 가능할 때

 f(b) - f(a)
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ = f'(c) 를 만족하는 c가 구간 (a, b)에 적어도 하나 존재
   b  -  a

• 평균값 정리
  • 평균변화율 == 순간변화율인 시기가 적어도 한 번 있음
  • 평균값 정리를 이용 → 도함수로부터 함수에 대한 정보 획득 가능
  • y = f(x)의 증가, 감소와 미분계수 사이에 관계 O

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[상수함수]

상수함수 

- 함수 y = f(x)가 열린구간 I에서 미분 가능, 모든 x ㅌ I에 대해서 f'(x) = 0이면, 
  f(x)는 구간 I에서 상수함수

• 부정적분 정의 시 중요한 역할

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[증가함수, 감소함수]

증가함수, 감소함수

- f(a) < f(b)이면, f(x)가 구간 I에서 증가함수(increasing function)
- 열린 구간 I에서 x가 증가할 때 함숫값이 증가

- f(a) > f(b)이면, f(x)가 구간 I에서 감소함수(decreasing function)
- 열린 구간 I에서 x가 증가할 때 함숫값이 감소

미분계수와 함수의 증감

- 함수 y = f(x)가 열린 구간 I에서 미분가능할 때

- a ㅌ I에 대해서 f'(a) > 0이면, 함수 f(x)는 구간 I에서 증가함수
- a ㅌ I에 대해서 f'(a) < 0이면, 함수 f(x)는 구간 I에서 감소함수

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[함수의 최대 최소]

함수의 최대 최소

- 함수 y = f(x)에 대해서

- c를 포함하는 열린구간 I에서 f(c)가 최댓값일 때 
  f(c) → 극댓값(local maximum)
  x = c에서 함수 f(x)가 극댓값을 가짐
  
- c를 포함하는 열린구간 I에서 f(c)가 최솟값일 때
  f(c) → 극솟값(local minimum)
  x = c에서 함수 f(x)가 극솟값을 가짐
  
- 극댓값, 극솟값 == 극값

• 극값이 될 가능성이 있는 함숫값을 미분을 이용해 찾기
• x = c에서 극대 혹은 극소가 되기 위해서는 함수가 증가하는 형태나 감소하는 형태가 아니어야 함
  • f'(c)가 양수나 음수라면 x = c에서 극대나 극소일 수 X
  • g(x) = |x|처럼 x = 0에서 극솟값을 가지지만, x = 0에서 미분이 불가능한 경우도 존재

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[페르마의 정리]

페르마의 정리

- 함수 y = f(x)가 x = c에서 극대나 극소라면, f'(c) = 0이거나 f(x)는 x = c에서 미분 불가능

• 미분가능한 함수 y = f(x)가 x = c에서 극값을 가지면 f'(x) = 0
• 역명제 성립 X
  • 미분가능한 함수 y = f(x)에 대해서 f'(c) = 0이면 y = f(x)는 x = c에서 극값을 가짐 → 성립 X
  • f'(c) = 0일 때, f(c)가 극값인지 확인 → 접선의 기울기와 음양이 변함을 확인 f'(x)의 부호 확인

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[극값 판정법]

극값 판정법

- 미분가능한 함수 y = f(x)가 f'(x) = 0일 때

- 적당한 양수 h에 대해,
  c - h < x < c     이면 f'(x) > 0
    c   < x < c + h 이면 f'(X) < 0
  를 만족하면 f(c)는 극댓값
  
- 적당한 양수 h에 대해,
  c - h < x < c     이면 f'(x) < 0
    c   < x < c + h 이면 f'(X) > 0
  를 만족하면 f(c)는 극솟값

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[최대 최소 정리]

최대 최소 정리

- 닫힌 구간 [a, b]에서 정의된 연속함수 y = f(x)는 최댓값과 최솟값을 가짐