[대학수학] 최적화 문제

[수학에서 최적화 문제]

• 최적화 문제
  • 여러 수학적 상황에서 최댓값 혹은 최솟값을 구하는 문제
  • 정의역이 닫힌 구간이 아닌 경우 → 최댓값과 최솟값이 모두 존재한다는 보장 X
  • 정의역이 닫힌 구간이 아닌 경우 → 함수의 증감을 보다 세밀하게 살펴야 함
  • 열린 구간에서 정의된 미분 가능한 함수가 정의역상에서 극솟값이 하나뿐이라면 → 극댓값 == 최댓값

최대최소 정리

- 열린 구간에서 정의된 미분 가능한 함수 y = f(x)가 임계점이 유일할 때,

1. 극솟값을 가지면 그 극솟값이 최솟값
2. 극댓값을 가지면 그 극댓값이 최댓값

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[최적화의 응용 사례]

• 최소제곱직선과 경영 및 경제에서 나타나는 이윤함수의 최적화
  • 제곱오차 사용
    • 제곱 → 플러스 오차, 마이너스 오차 상쇄 방지
    • 제곱오차가 작을수록 직선이 주어진 점들과 가깝다
  • 제곱 오차를 최소로 하는 직선 → 최소제곱직선

제곱오차
       n
L(a) = Σ(axi - yi) ^ 2
      i = 1