[대학수학] 선형근사

[미분과 선형근사]

• 미분계수 → 변화율, 변화한 양(y의 증분)
• x의 증분이 작은 경우 y의 증분은 f'(a)△x와 비슷 → f'(a)△x를 계산해 △y를 근사
• dy가 △y와 일치하지는 않지만 △x가 작아질수록 비슷

미분

- 미분 가능한 함수 y = f(x)에 대한 y의 미분(differential)의 정의
  → dy = f'(x)dx, 이때 dx = △x

 

• 선형 근사
  • 미분을 이용하여 y = f(x)의 근삿값을 계산하는 것
  • △y = f(a + △x) - f(a) ≒ f'(a) * △x 에서 a + △x = x로 놓고 정리해서 얻은 식
  • f(x) ≒ f'(a) * (x - a) + f(a)가 f(x)의 값을 직선의 방정식 f'(a) * (x - a) + f(a)로 근사하고 있다는 사실에 기인
  • 함수의 근삿값을 구하는 데 유용 → 활용을 위해 근삿값와 참값의 차이가 얼마나 되는지 알아야 함

선형 근사의 오차 한계

- 두 번 미분 가능한 함수 y = f(x)에 대한 x = a에서의 미분과 증분의 차이

|△y - dy| <= M / 2 (dx)^2

- 여기서 M은 닫힌 구간 [a - dx, a + dx]에서 |f'(x) <= M|을 만족하는 실수