[대학수학] 초월함수의 미분

[삼각함수와 지수-로그 함수의 미분]

• 삼각함수의 도함수 → 극한이 중요한 역할

- 삼각함수의 도함수 → 극한 중요 역할

     sinx                cosx - 1
lim ㅡㅡㅡ = 1 과 lim ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ = 0
x→0   x           x→0        x

 

• 삼각함수의 도함수

삼각함수의 도함수

- f(x) = sinx → f'(x) = cosx

- g(x) = cosx → g'(x) = -sinx

- h(x) = tanx → h'(x) = sec^2x

 

 

• 지수-로그 함수의 도함수

지수-로그 함수의 도함수

- 함수 f(x) = a ^ x, (단 a > 0)의 도함수 f'(x) = ln a * a^x

- f(x) = e^x의 도함수 f'(x) = e^x

- 함수 f(x) = loga(x), (단, a > 0)의 도함수 f'(x) = 1 / ln a * 1 / x

- f(x) = ln x 의 도함수 f'(x) = 1 / x

 

• 거듭제곱의 미분

거듭 제곱의 미분

- 실수 a에 대해서 (단, x > 0)

 d
ㅡㅡ (x^a) = a * x^(a-1)
 dx

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[초월함수 미분의 활용]

• 함수 → 여러 함수의 곱과 몫으로 이루어져 미분하기 복잡한 경우 → 로그 함수 이용
• 로그 함수 → 곱(*)과 몫(/)을 합과 차로 변환, 미분 간단
• 초월함수를 포함한 경우 → 도함수를 활용한 극한 계산 가능 → 로피탈의 정리

로피탈의 정리

- f(0) == g(0) == 0이고, f'(0), g'(0)이 존재하는 경우

      f(x)          f'(x)
lim ㅡㅡㅡㅡ = lim ㅡㅡㅡㅡ 가 성립
x→0   g(x)     x→0  g'(x)

 

• 간단한 증감 모델

간단한 증감 모델
- 방정식 f'(x) = kf(x)의 해 → f(x) = f(0)e^kz 뿐