[대학수학] 미분법칙

[다항함수와 유리함수의 미분]

• 주어진 함수의 도함수를 구하는 것 → "함수를 미분한다."
• 미분의 기본 성질

미분의 기본 성질

- 함수 y = f(x)와 y = g(x)가 미분 가능한 함수일 때, 다음이 성립

      d              df
(1) ㅡㅡ * (cf) = c ㅡㅡ (단, c는 상수)
     dx              dx
  
      d                 df     dg
(2) ㅡㅡ * (c ± f) = c ㅡㅡ ± ㅡㅡ    (복부호 동순)
     dx                 dx     dx

 

• 거듭제곱의 미분

거듭제곱의 미분

- 상수 함수 y = c의 도함수는 f'(x) = 0
- 자연수 n에 대하여 y = x^n의 도함수는 f'(x) = n * x^(n-1)

 

• 미분의 기본 성질(2)

미분의 기본 성질

- 함수 y = f(x)와 y = g(x)가 미분 가능할 때 다음이 성립

      d            df             dg
(1) ㅡㅡ * (fg) = ㅡㅡ * g + f * ㅡㅡ
     dx            dx             dx
     
     d      f         f'g   -   fg'
(2) ㅡㅡ ( ㅡㅡ ) = ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ (단, g(x) != 0)
     dx     g              g ^ 2

 

• 거듭제곱의 미분(2)

거듭제곱의 미분

- 정수 n에 대하여 y = x^n의 도함수 → dy / dx = n * x^(n-1)

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[연쇄법칙과 음함수 미분법]

• 연쇄법칙 → 합성함수를 미분하는 방법

연쇄법칙

- 미분가능한 함수 z = f(y)와 y = g(x)에 대한 합성함수 z = f(g(x))의 미분

 dz     dz     dy
ㅡㅡ = ㅡㅡ * ㅡㅡ = f'(g(x))g'(x)
 dz     dy     dx

 

• 음함수
  • F(x, y) = 0의 형태로 함수 표현 → 간단한 경우 O
  • F(x, y) = 0이 복잡한 형태인 경우 y = f(x)로 나타내는 것이 불가능할 수 있음
  • 그러나, x가 정해질 때 y의 값은 F(x, y) = 0을 만족하는 값으로 정해짐 → y가 x에 대한 함수 → 음함수
  • dy / dx = -x / y (단, y != 0)