[대학수학] 미분계수와 도함수

[미분계수]

• 미분
  • 함숫값의 순간적인 변화를 측정하기 위한 수학적 도구
    • y = f(x)에 대하여 x가 x0에서 x1로 변하는 동안 함숫값의 변화량은 f(x1) - f(x0)
    • 이때 x값의 변화량을 △x = x1 - x0으로 표기
    • 이때 y값의 변화량을 △y = f(x1) - f(x0)으로 표기
  • 함수의 평균 변화율
    • △y / △x = ( f(x1) - f(x0) ) / (x1 - x0)
    • 두 점 (x0, f(x0)), (x1, f(x1))을 잇는 선분의 기울기
    • 함숫값의 대략적인 변화를 알아보는 데는 편리, But 함수값의 변화 정확하게 파악 X → 미분계수 도입

평균변화율

- 함수 y = f(x)가 주어졌을 때, x = x0에서 x = x1까지의 평균변화율(average rate of change)

 △y     f(x1) - f(x0)
 ㅡㅡ = ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
 △x       x1  -  x0

 

• 미분계수
  • 함수 y = f(x)가 x = a에서 미분 가능하다면, y - f(x)는 x = a에서 연속
  • 미분계수 f'(a)는 점 (a, f(a))에서 함수 y = f(x)의 접선의 기울기

함수 y = f(x)가 주어졌을 때, x = a에서 미분계수(differential coefficient)

lim(△x → 0)  (f(a + △x) - f(a))  /  △x

가 수렴하는 경우, 그 극한값으로 정의하고 f'(a)로 표기

함수 f(x)에 대하여 x = a에서 미분게수가 존재할 때, 함수 y = f(x)가 x = a에서 미분 가능(differentiable)

 

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[도함수]

• 도함수
  • 함수 y = f(x)에 대하여 x = a일 때 미분게수 f'(a)를 대응시키는 함수를 정의하는 것이 가능
  • 도함수 이용 → 주어진 함수의 임의의 점에서의 미분계수 알 수 O

도함수 

- 함수 y = f(x)에 대하여 f(x)의 도함수(derivative)를 f'(x) 또는 df/dx로 표기

- 도함수는 아래와 같이 정의

          dy         df                   f(x + △x) - f(x)   
f'(x) =  ㅡㅡ   =   ㅡㅡ  =     lim    ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
          dx         dx      △x → 0            △x
          
- 함수 y = f(x)의 도함수의 정의역 → f(x)가 미분가능한 모든 x
- 정의역상의 모든 x에 대해서 함수 f(x)가 미분가능할 때, 함수 y = f(x)는 미분가능한 함수

 

• 함수 y = f(x) 그래프의 점 (a, f(a))에서 접하는 접선의 방정식 → 미분게수로 구하는 방법
  • 접선 위의 점 → 알고 있음
  • 접선의 기울기 → f'(a)

접선의 방정식

- 함수 y = f(x)가 x = a에서 미분 가능할 때, 점 (a, f(a))에서 접선의 방정식

y = f'(a) * (x - a) + f(a)