[대학수학] 수열의 극한

[수열의 극한]

• 수열
  • 정의역 → 자연수의 집합 N, 공역 → 실수 전체의 집합 R일 때, f : N → R
  • f(n) → 일반적으로 a(n)으로 표현, 더욱 간단하게 f(n) = an으로 표현

[그림] 수열

수열
- 자연수의 집합을 정의역으로 하는 수치함수

• 무한수열(infinite sequence)
  • 정의역이 자연수 전체로서 무한한 대응 관계를 이루는 함수
  • 이를 이루고 있는 각각의 수 an → 항(term)
  •  
• 유한수열
  • 수열의 정의역이 위로 유계
• 수열의 일반항
  • 수열의 n번째 항인 an을 n에 관한 식으로 표현 O
  • n = 1, 2, 3...을 대입해 수열의 각 항 구할 수 O
  • 일반적인 수열의 항 구할 수 O → an, 수열의 일반항

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• 등차수열
  • 이웃하는 두 항의 차가 d로 일정한 수열
  • an = a1 + (n - 1)d
  • n = 1, 2, 3...
• 등비수열
  • 이웃하는 두 항의 비가 r로 ㅇ리정한 수열
  • an = a1 * r^(n - 1)
  • n = 1, 2, 3...

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• 수렴(converge)
  • 일반적으로 수열 {an}에서 n이 계속 커짐에 따라 an이 일정한 값 α에 한없이 가까워지는 경우
  • 수열 {an}은 α에 수렴한다
  • α → 수열 {an}의 극한값 or 극한

[그림] 수렴 기호

수렴
- 임의의 양수 ε에 대해, 조건 n > N인 모든 자연수 n에 대하여
  |an - α| < ε를 만족하는 자연수 N이 존재하는 경우
  {an}은 α에 수렴함
  
- an → α로 표현
  α는 an의 극한값

 

• 발산(diverge)
  • 수열 an가 수렴하지 않는 경우
  • an이 양수로서 한없이 커지는 경우, 수열 {an}은 "양의 무한대로 발산한다"
  • an이 음수로서 그 절댓값이 무한히 커지는 경우, 수열 {an}은 "음의 무한대로 발산한다"
  • an이 여러 개의 값에 가까워지지만 일정한 하나의 값에 수렴하지 않는 경우, "수열 {an}을 진동(oscillate)한다"

[그림] 양의 무한대로 발산

[그림] 음의 무한대로 발산

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• 수렴수열의 성질
  • 수렴하는 수열의 극한값은 유일
  • 수렴하는 수열은 절댓값이 유계(bounded)
    • 충분히 큰 양의 실수 M이 존재, 모든 자연수 n에 대하여 다음이 성립
      • |an| <= M
    • 단조증가(monotone increasing) → 수열 {an}이 an <= an+1을 만족
    • 단조감소(monotone decreasing) → 수열 {an}이 an >= an+1을 만족
    • 단조수열(monotone) → 단조증가 or 단조감소인 수열 → 단조수렴정리 성립
• 단조수렴정리
  • 단조이고 유계인 수열은 수렴함
  • 단조증가 + 유계 수열 → 수열의 상한에 수렴
  • 단조감소 + 유계 수열 → 수열의 하한에 수렴

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• 자연로그
  • 자연로그의 밑 → e, 무리수

[그림] 자연로그의 밑

• 수열의 연산
  • 무리수를 포함한 수열 → 켤레복소수를 분자, 분모에 곱해 극한값 계산

[그림] 수열의 연산

• 조임정리
  • 수열 an, bn이 모두 α로 수렴, an <= xn <= bn을 만족하는 경우, xn도 α로 수렴

[그림] 조임정리