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[대학수학] 초월함수 본문

YJ/대학수학

[대학수학] 초월함수

Team DAON 2022. 9. 9. 15:34

[초월함수]

  • 삼각비
    • 직각삼각형의 각과 변의 길이를 이용해 정의
    • θ == 각
    • θ는 호도법으로 표현, 1 라디안(radian)은 180˚ /  π
    • 180˚ == π
    • 90˚ == π / 2
    • 60˚ == π / 3

[그림] 삼각비
[그림] 특수각의 삼각비

 


  • 삼각함수
삼각함수
- 중심이 원점이고 반지름이 r인 원 위의 점 P(x, y)에 대하여 x축의 양의 부분을 시초점으로 하여
  동경 OP가 나타내는 각의 크기를 θ라고 하면 각 θ는 y / r, x / r, y / x와 대응
  이와 같이 각 θ와 대응되는 함수를 각각 sinθ, cosθ, tanθ라고 하며 다음과 같다
  
- sinθ = y / r
- cosθ = x / r
- tanθ = y / x (단, x != 0)

- sinθ의 역수 == cosecθ == r / y
- cosθ의 역수 == secθ == r / x
- tanθ의 역수 == cotθ == x / y

  • 삼각함수의 제곱 공식
    • sinx와 cosx
      • sin²x + cos²x = 1
  • 삼각함수를 각도 θ의 함수가 아닌 일반적인 함수 y = f(x) 형태로 표시 → 주기함수
    • y = sinx
    • y = cosx
    • y = tanx
  • 주기함수
    • 어떤 정수 n에 대해서 sinx = sin(x + 2nπ), cosx = cos(x + 2nπ)가 성립
    • sin 함수와 cos 함수는 주기가 2π인 주기함수

[그림] sin, cos 함수와 그래프

  • 주기함수
    • 어떤 정수 n에 대해서 tanx = tan(x + nπ)가 성립
    • tan 함수는 주기가 π인 주기함수

[그림] tan 함수

 

주기함수
- 함수 f의 정의역에서 덧셈이 정의되어 있고 f(x)가 모든 정의역에 대해 f(x) = f(x+p)를 만족하는
  0이 아닌 상수 p가 존재할 때 f(x)

 


  • 삼각함수의 성질(sinx, cosx)
    • sin(-x) == -sinx
    • cos(-x) == cosx
    • sin(x + π / 2) == cosx
    • cos(x + π / 2) == -sinx
    • sin(x + π) == -sinx
    • cos(x + π) == -cosx
  • 삼각함수의 성질(tanx)
    • tan(-x) == -tanx
    • tan(x + π / 2) == -cotx
    • tan(x + π) == tan(x)
  • 일반적인 sin함수
    • y = Asin(ωx + ф)으로 표현
    • 주기 2π / ω, 주기 함수가 얼마나 빠르게 반복되는가
    • 주파수 ω, 주기 함수가 얼마나 빠르게 반복되는가
    • 진폭 → |A|, 파동의 크기
    • 위상각(phase) ф, sin 함수의 시작점

[그림] sin 함수


  • 지수법칙
    • 어떤 양수 a를 n번 거듭제곱 → aⁿ
      • a → 밑
      • → 지수
    • n을 실수 x로 확장하면 aˣ로 표현
지수법칙

- 양수 a, b와 실수 x, y에 대하여 다음이 성립

1. a^(x+y) == a^x * a^y
2. a^(x-y) == a^x / a^y
3. (a^x)^y == a^xy
4. (ab)^x  == a^x * b^x
5. x√a == a^(1/x)

[그림] 지수법칙

  • 지수함수
    • a가 양의 상수일 때 정의역이 실수인 함수
    • exponential function
    • y = aˣ
    • 치역 → 양의 실수
    • 지수함수의 a값 → 무리수인 e = 2.71828...이 자주 사용
      • e → 오일러의 수
      • y == eˣ == exp(x)
    • a의 값에 따라 모양이 변함
      • 0 < a < 1
        • x가 커짐에 따라 값이 작아짐
      • a > 1
        • x가 커짐에 따라 값이 커짐

[그림] 지수함수의 그래프


  • 로그함수
    • 지수함수의 역함수 == 자연로그함수
    • y == logₑx == ln x
      • 지수함수가 y = 10ˣ일 때, y = logx → 밑이 10인 상용로그함수
로그함수

- 지수함수 f(x) = exp x의 역함수
- f^(-1)(x) = lnx

- exp(lnx) = x, 단 x > 0, ln(exp x) = x
  • 지수함수의 성질
    • exp(x+y) = exp x * exp y
      • exp(lnx + lny) = exp(lnx) * exp(lny) = xy = exp(lnxy)
      • exp(lnx - lny) = exp(lnx) / exp(lny) = x / y = exp(lnx/y)
  • 로그함수의 성질
    • ln(xy) = lnx + lny
    • ln(x/y) = lnx - lny

[그림] 로그함수의 그래프

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