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[대학수학] 수열의 극한
[수열의 극한] 수열 정의역 → 자연수의 집합 N, 공역 → 실수 전체의 집합 R일 때, f : N → R f(n) → 일반적으로 a(n)으로 표현, 더욱 간단하게 f(n) = an으로 표현 수열 - 자연수의 집합을 정의역으로 하는 수치함수 무한수열(infinite sequence) 정의역이 자연수 전체로서 무한한 대응 관계를 이루는 함수 이를 이루고 있는 각각의 수 an → 항(term) 유한수열 수열의 정의역이 위로 유계 수열의 일반항 수열의 n번째 항인 an을 n에 관한 식으로 표현 O n = 1, 2, 3...을 대입해 수열의 각 항 구할 수 O 일반적인 수열의 항 구할 수 O → an, 수열의 일반항 등차수열 이웃하는 두 항의 차가 d로 일정한 수열 an = a1 + (n - 1)d n = 1,..
[대학수학] 초월함수
[초월함수] 삼각비 직각삼각형의 각과 변의 길이를 이용해 정의 θ == 각 θ는 호도법으로 표현, 1 라디안(radian)은 180˚ / π 180˚ == π 90˚ == π / 2 60˚ == π / 3 삼각함수 삼각함수 - 중심이 원점이고 반지름이 r인 원 위의 점 P(x, y)에 대하여 x축의 양의 부분을 시초점으로 하여 동경 OP가 나타내는 각의 크기를 θ라고 하면 각 θ는 y / r, x / r, y / x와 대응 이와 같이 각 θ와 대응되는 함수를 각각 sinθ, cosθ, tanθ라고 하며 다음과 같다 - sinθ = y / r - cosθ = x / r - tanθ = y / x (단, x != 0) - sinθ의 역수 == cosecθ == r / y - cosθ의 역수 == secθ =..
[대학수학] 여러 가지 함수
[여러 가지 함수] 우함수, 기함수 우함수 - even function - y축 대칭의 형태를 가지는 함수 - 함수가 짝수 제곱의 항으로 이루어져 있음 - -x, x에서의 함숫값이 항상 같으므로 y축 대칭인 그래프의 형태 - 함수 f : R → R가 임의의 실수 x에 대해 f(-x) == f(x)일 때 f 기함수 - odd function - 원점 대칭의 형태를 가지는 함수 - 함수가 홀수 제곱의 항으로 이루어져 있음 - x, -x에서의 함숫값이 절댓값은 같고 부호만 반대이므로 원점에 대칭인 그래프의 형태 - 함수 f : R → R가 임의의 실수 x에 대해 f(-x) == -f(x)일 때 f 대수적 함수 f(x) = C, (C는 상수)인 상수함수와 f(x) = x인 항등함수에 대수적인 연산을 유한 번 적..
[대학수학] 함수의 연산
[함수의 연산] 함수의 연산 두 개의 실수 함수 f, g에 대하여 실수의 연산자를 이용해 함수 사이의 연산 정의 가능 (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f - g)(x) = f(x) - g(x) (fg)(x) = f(x) * g(x) (f/g)(x) = f(x) / g(x), 단, g(x) != 0 (af)(x) = a * f(x) 단, a는 임의의 실수 합성 함수 세 개의 집합 X, Y, Z에 대해 다음과 같이 주어지는 두 개의 함수 f : X → Y, g : Y → Z 이러한 두 함수를 연결하여 생각하면 X의 임의의 원소 x의 f에 의한 함숫값 f(x)가 정해짐 다음에 f(x)의 g에 의한 함숫값으로서 Z의 원소 g(f(x))가 정해짐 합성함수 - 두 함수가 f : X → Y와 g : Y..
전사함수 Y의 임의의 원소 y에 대해 f(x) = y가 되는 x가 정의역 X의 원소 중에 적어도 하나 존재하는 것 공역 내의 모든 원소가 대응 관계를 맺음 → 공역 == 치역 전사함수 - surjective function - 함수 f : X → Y가 모든 y ∈ Y에 대하여 f(x) = y를 만족하는 x ∈ X가 존재할 때 f 단사함수 == 일대일 함수 서로 다른 원소에 대한 함숫값이 서로 다른 함수 정의역에 속하는 어떤 두 원소의 함숫값이 같으면 그 두 원소는 동일한 원소 단사함수 - injective function - 함수 f : X → Y가 임의의 서로 다른 두 원소 x1 ∈ X, x2 ∈ X에 대하여 f(x1) != f(x2)일 때의 f 전단사함수 == 일대일 대응 함수 bijective fu..
[함수의 정의] 함수의 정의 두 집합 간의 관계, 두 집합에 속한 원소 간의 관계 두 집합 X, Y에 대해 집합 X의 원소 x가 집합 Y의 원소 y에 짝지어진다면, 집합 X에서 집합 Y로의 대응 X에서 Y로의 함수 f를 기호로는 f : X → Y로 나타내고 만약 x ∈ X가 함수 f에 의해 y ∈ Y로 대응되면 y = f(x)로 나타냄 함수의 정의 - 집합 X, Y가 주어졌을 때, 임의의 원소 x ∈ X에 대해 그에 대응하는 원소 y ∈ Y가 오직 하나만 존재할 때, 이 대응을 f라고 하면 f를 X에서 Y로의 함수라고 함 정의역 함수 f : X → Y에 대한 X 공역 함수 f : X → Y에 대한 Y 함숫값 정의역 X의 원소에 대응하는 공역 Y의 원소 f(x) x의 함숫값 치역 x의 함숫값 전체의 집합 ..
[집합의 원소 개수와 고전적 확률] 유한집합의 원소 개수 유한 개의 원소만 갖는 유한집합 → 원소의 개수 셀 수 있음 유한 집합 A의 원소 개수 → n(A) A, B가 유한집합인 경우 성립 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) A, B가 공통부분이 없는 유한집합인 경우 성립 A ∩ B = ∅ 이면 n(A ∩ B) = 0 이므로 다음이 성립 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) 곱집합 임의의 실수 a, b를 짝지은 (a, b) != (b, a) (a, b) → 순서쌍 집합 A, B에 대해 A에서 a를, B에서 b를 골라 이루어지는 순서쌍 (a, b)의 집합 → A X B, 곱집합 A = B인 경우, A X B == A X A == A² 일반적으로 A X B != B X A 두 집..