[대학수학] 집합

[집합]

•  집합의 정의
  • 집합
    • 확정되어 있으면서 서로 구별할 수 있는 것들의 모임 전체
    • set
    • 모든 자연수의 모임, 1에서 9까지의 자연수의 모임, 키 190cm 이상인 사람들의 모임
  • 원소
    • 집합 내부의 각 개체
    • element
  • 집합에 속하는 원소가 명확하게 구분되고, 개별 원소가 그 집합에 속하는지 여부를 판정할 수 있어야 함

정의
- 집합이란 각각이 서로 명확하게 구분되는 원소의 모임

 

• 집합의 표현 방법
  • 집합 → 로마 문자의 대문자, A, B, C...
  • 원소 → 소문자, a, b, c...
  • a가 집합 A의 원소 → a ∈ A → a는 A에 속한다
  • a가 집합 A의 원소가 아님 → a ∉ A → a는 A에 속하지 않는다
    • A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
    • 1 ∈ A, 2 ∈ A, 3 ∈ A
    • 20 ∉ A, 30 ∉ A
  • 유한집합
    • 원소의 수가 유한한 집합
    • 1에서 9까지의 자연수의 집합
  • 무한집합
    • 무수히 많은 원소를 가지는 집합
    • 모든 자연수의 집합
• 원소나열법
  • 집합에 속하는 모든 원소를 나열하여 집합을 표시하는 방법
  • A가 1에서 9까지의 자연수의 집합일 때, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
  • 순서는 무관, 중복은 금지
  • {1, 2, 3} == {2, 1, 3} == {3, 1, 2}
  • {1, 1} → X, {1} → O
• 조건제시법
  • 원소의 개수가 무한이거나 너무 많아 나열하기 어려운 경우에 사용
  • 원소가 만족하는 조건이나 관계식으로 표현
  • 대표 원소를 x로 나타내고 그 집합의 원소가 될 조건을 작성
  • | 기호 → '뒤의 조건을 만족하는' 이라는 뜻

조건제시법
- {x | 대표 원소 x가 만족시켜야 하는 조건}

 

•  부분집합
  • 집합 A, B에 대해 집합 B에 속한 모든 원소가 집합 A의 원소인 경우
  • 집합 B는 집합 A의 부분집합(subset)
  • B ⊂ A 또는 A ⊃ B로 표현
  • 집합 B는 집합 A에 포함된다. 집합 A는 집합 B를 포함한다
  • 집합 B에 속하는 모든 원소가 항상 집합 A에 속하면 집합 B는 집합 A의 부분집합
    • B → 자연수 전체의 집합, A → 정수 전체의 집합
    • B는 A의 부분집합
  • x ∈ A이면, x ∈ A라는 명제는 항상 참 → A ⊂ A → 모든 집합은 자기 자신을 부분집합으로 가짐
  • 두 집합이 같은 원소로 구성된 경우, 두 집합은 같다.
    • A ⊂ B이면서 B ⊂ A인 경우, A와 B는 같다 → A = B
    • A와 B가 같지 않은 경우 → A ≠ B
  • B가 A의 부분집합이면서, A와 B가 일치하지 않는 경우 → B는 A의 진부분집합

부분집합
- 집합 A, B가 주어졌을 때 "x ∈ B이면 x ∈ A이다" 가 성립하는 경우, 집합 B는 집합 A의 부분집합

- A ⊂ A, 모든 집합은 자기 자신을 부분집합으로 가짐

- A ⊂ B이면서 B ⊂ A인 경우, A와 B는 같다 → A = B

- A와 B가 같지 않은 경우 → A ≠ B

- 집합 A, B가 주어졌을 때 "x ∈ B이면 x ∈ A"이 성립하면서 A ≠ B일 경우, 집합 B는 집합 A의 진부분집합

- 어떤 X ∈ B에 대하여 X ∉ A이면 B ⊄ A이다.

 

• 전체 집합(universal set)
  • 모든 원소를 포함하는 가장 큰 집합 U
  • 발생 가능한 모든 원소의 집합
  • 다른 집합은 U의 부분집합
• 공집합(empty set)
  • 원소가 하나도 없는 집합
  • Ø
  • 모든 집합의 부분집합
• 벤다이어그램(Venn Diagram)
  • 집합 사이의 관계를 그림으로 나타낸 것
  • 전체 집합 U → 하나의 직사각형 내부
  • 부분 집합 A → 원, 타원 등 내부에 위치

[그림] 벤다이어그램