[대학수학] 수학의 정의

[수학의 정의]

• 수학의 구분 
  • 순수 수학
    • 수학 그 자체를 연구하는 학문
    • 추상화된 문제 해결에 초점 → 여러 이론 도출
  • 응용 수학
    • 물리학, 공학, 사회과학 등의 분야에서 필요한 수학 연구
    • 순수 수학에서 얻은 이론 기반 현실 문제 구체화
    • 추상화된 문제 해결 → 현실에 적용
• 수학의 정의
  • 복잡한 현실 문제를 단순하게 추상화
  • 추상화된 문제를 수학적 원리로 해결
  • 그 결과를 현실에 적용
  • 추상적 세계 - 현실 세계 연결시키는 다리 역할을 하는 학문

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[수학의 기초 논리]

• 정리 vs 정의
  • 정리 → 가정에 따라 결론이 이루어진다는 명제의 형태
  • 정의 → 사전에 옳다고 정하는 것
• 명제?
  • 가정 → P, 결론 →  Q라고 할 때, "P이면 Q이다" → 형태로 구성
  • 명제, "P → Q" 형태로 표현
  • 참인 명제, "P ⇒ Q" 형태로 표현
• 대우명제
  • "Q가 아니면 P가 아니다"
  • 대우명제는 원래의 명제와 동일
• 충분조건, 필요조건
  • 명제 "P → Q"가 참이어서 "P ⇒ Q"인 경우,
  • P는 Q이기 위한 충분조건
  • Q는 P이기 위한 필요조건
• 필요충분조건
  • "P ⇒ Q"이고 "Q ⇒ P"인 경우, "P ⇔ Q"라 표기
  • P는 Q이기 위한 필요충분조건
  • 동치라고도 표현
• 수학적 명제의 증명
  • 연역법, 귀류법, 수학적 귀납법 등 사용
  • 연역법
    • 몇 개의 명제가 옳다는 가정 아래 다른 명제도 옳다는 것을 논리적으로 밝히는 직접 증명법
    • 수학적 증명에서 흔히 활용
  • 귀류법
    • 어떤 명제가 참임을 직접 도출하기 어려울 때, 명제가 거짓이라고 가정하고 추론하여 그 명제가 모순 또는 불가능하다는 것을 보여 그 명제가 참일 수밖에 없음을 증명
    • 간접증명법
  • 수학적 귀납법
    • mathematical induction
    • 자연수 n에 대한 명제가 있는 경우, n = 1일 때 성립, n = k일 때 명제가 성립한다고 가정하고 n = k + 1일 때 같은 명제가 성립함을 보여 모든 자연수에 대해 명제가 성립함을 보이는 증명 방법
    • 이미 알려진 사실을 엄격한 논리에 의하여 증명하는 방법

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[수의 체계와 성질]

• 실수의 성질
  • 서로 더하거나 곱해도 항상 새로운 실수가 된다 == 덧셈 혹은 곱셈에 관해 닫혀 있다
  • 교환법칙
    • a + b = b + a
    • ab = ba
  • 결합법칙
    • (a + b) + c = a + (b + c)
    • (ab)c = a(bc)
  • 분배법칙
    • a(b + c) = ab + ac
    • (a + b)c = ac + bc
  • 항등원
    • a + 0 = a
    • a * 1 = a
  • 역원
    • a + (-a) = 0 → -a는 a의 덧셈에 대한 역원
    • a * a^-1 = 1 → a^-1은 a의 곱셈에 대한 역원
  • 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙, 항등원, 역원을 모두 만족하는 집합 == 체(field)
  • 뺄셈과 나눗셈은 역원의 합과 곱으로 표현

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• 수의 체계
  • 대학수학 → 실수 체계(real number system)에 기반

[그림] 수의 체계

[그림] 수의 체계

• 수의 체계
  • 자연수
    • 양의 정수
    • natural number
    • 1을 거듭 더해 만들어진 수
    • 1, 2, 3, 4, 5...
  •  정수
    • integer 
    • 자연수에 0과 음의 자연수를 포함
    • ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
  • 유리수
    • rational number
    • 정수로 측정할 수 없는 값 중 두 정수 m, n을 분수 꼴 n/m(m != 0)으로 나타낼 수 있는 수
    • 유한소수, 순환하지 않는 무한소수로 분류
    • 0.56, 0.1666666
  • 무리수
    • irrational number
    • 유리수 꼴로 표현할 수 없는 수
    • 순환하지 않는 무한소수
    • √2, √3, 𝝿, e
  • 실수
    • real number
    • 유리수 + 무리수
    • 직선으로 표현
      • 실수 직선(real line)에 모든 실수가 일대일로 대응
      • 0 == 원점
      • 임의의 실수 a에 대해, a는 항상 a > 0, a = 0, a < 0 중 하나
        • a > 0 → a가 0의 오른쪽에 있음
      • 실수 a, b에 대해 a - b도 실수
        • a - b > 0,  a - b = 0, a - b < 0 중 하나
        • a > b, a = b, a < b 중 하나 성립
        • 기하학적으로 a < b는 실수 직선에서 a가 b의 왼쪽에 있음을 의미
      •  실수의 대소 성질 
        • a > b,  b > c ⇒ a > c
        • a > b ⇒ a + c > b + c, a - c > b - c
        • a > b, c > 0 ⇒ ac > bc, a/c > b/c
        • a > b, c <  0 ⇒ ac < bc, a/c < b/c
      • 절댓값
        • 실수 직선 위에서 어떤 실수 a에 대응하는 점과 원점 사이의 거리, |a|로 표현
        • 절댓값의 성질
          • |a| = a ( a >= 0 )
          • |a| = -a ( a < 0 )
          • |a| = |-a|
          • |ab| = |a||b|
          • |a/b| = |a| / |b| (b != 0)

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• 구간
  • 두 실수 사이의 모든 점의 모임
  • 구간의 양 끝점 포함 여부에 따라 닫힌구간(closed interval) 또는 열린구간(open interval)으로 구분
  • 어떤 실수 x가 두 실수 a, b 사이에 있는 경우
    • a, b는 실수, a < b일 때
    • { x | a < x < b } ⇒ (a, b) { x | a <= x <= b } ⇒ [a, b]
    • { x | a <= x < b } ⇒ [a, b) { x | a < x <= b } ⇒ (a, b]
    • { x | a < x } ⇒ (a, +∞) { x | a <= x } ⇒ [a, +∞)
    • { x | x < b } ⇒ (-∞, b) { x | x <= b } ⇒ (-∞, b]
    • <= ⇒ [ ]
    • < ⇒ ( )
  • 실수 직선 R은 (-∞, +∞)의 열린구간으로 표현
• 실수의 특징
  • 조밀(dense)
  • 서로 다른 두 실수 사이에는 또 다른 실수가 존재
  • 서로 다른 두 수 사이에는 무수히 많은 실수가 존재
  • 두 실수 사이에 무수히 많은 유리수와 무리수가 존재
  • 유리수와 무리수도 실수와 마찬가지로 조밀 → 무리수로 유리수를 근사시킬 수 있음
  • 임의의 유리수와 가까운 어떤 무리수는 항상 존재

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• 상한, 하한
  • 구간 S, 그 구간 S에 속한 모든 실수 x에 대해 x <= a인 실수 a
  • a보다 크거나 같은 실수 → 구간 S의 상계(upper bound)
    • 구간 S → a에 의해 위로 유계
    • 만약 a가 구간 S에 속하는 경우 → a는 구간 S의 최댓값
    • 구간의 상계가 없는 경우 → 위로 유계되지 않음
  • 마찬가지의 방법 → 구간 S의 하계(lower bound) 및 최솟값 정의 가능
  • 일반적으로 상계나 하계는 유일하게 결정 X → 최소 상계, 최대 하계 정의 필요 O
• 최소 상계
  • least upper bound
  • 모든 상계 중 최소인 수
  • 최소 상계가 존재하는 경우 → 유일하게 결정
• 최대 하계
  • greatest lower bound
  • 모든 하계 중 최대인 수
  • 최대 하계가 존재하는 경우 → 유일하게 결정

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[방정식의 그래프]

• 실수 → 수직선에 위치를 표시하여 크기나 구간을 구함
• 두 실수 x, y에 대한 순서쌍 (x, y)는 점의 위치, 좌표를 나타내는 데 사용
• 좌표를 나타낸 평면 == 좌표평면
• 두 실수 x, y에 대한 순서쌍 (x, y)를 사용하여 직교좌표로 점의 위치를 나타내는 방법 == 데카르트 좌표
  • 두 개의 수직선 x축, y축
  • x축, y축이 만나는 점 == 원점 == O
  • 직교좌표 체계에서 두 점 사이의 거리

[그림] 두 점 사이의 거리

• 그래프
  • 방정식 → x, y의 값에 따라 참, 거짓이 달라지는 등식
  • 등식을 만족시키는 순서쌍 (x, y)의 집합을 직교좌표 위에 표기 → 방정식의 그래프
  • 직선 x값의 변화에 대한 y값 변화의 비 == 기울기 (slope)
  • 두 점을 지나는 직선의 기울기

[그림] 직선의 기울기

• 그래프
  • 직선이 y축과 만나는 점 == y 절편(y intercept)
• 원
  • 평면의 한 점 C로부터 일정한 거리에 있는 점들의 모임
  • 점 C == 원의 중심, C와 원 위의 점을 잇는 선분 == 반지름

[그림] 원의 방정식

• 그래프
  • 타원
    • 두 고정점 A, B에 이러는 거리의 합이 일정한 점들의 집합
    • 두 고정점 A, B → 주어진 타원의 초점

[그림] 타원