[대학수학] 함수의 극한

[함수의 극한]

• 함수 극한의 정의
  • 함수 f(x)에서 x가 a와 다른 값을 취하면서 한없이 일정한 값 a에 가까워질 때, f(x)의 값이 일정한 값 b에 가까워지는 것
  • "x가 a로 한없이 가까워질 때 함수 f(x)의 극한값은 b이다."
  • "x가 a에 수렴할 때, f(x)는 b에 수렴한다."
• 함수 극한의 일반적 정의
  • y = f(x)에서 x가 a와 다른 값을 취하면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)가 b로 한없이 가까이 가는 상태

[그림] 함수 극한의 정의

함수 극한의 정의
- 임의의 양수 ε에 대하여, 조건 '0 < |x - a| < σ인 모든 x에 대하여 f(x)가 정의되어 있고 
  |f(x) - b| < ε'를 만족하는 양숫값 σ가 존재하면, lim(x→a) f(x) = b, 여기서 b는 함수 f(x)의 극한값

 

• 수열의 극한 vs 함수의 극한
  • 극한의 정의를 만족하는 값이 유일한 경우 → x가 a로 한없이 가까워질 때 f(x)의 극한값이 존재한다.
  • 좌극한 → x가 a보다 작은 값을 가지면서 한없이 a에 가까워질 때의 극한값
  • 우극한 → x가 a보다 큰 값을 가지면서 한없이 a에 가까워질 때의 극한값

[그림] 수열의 극한 vs 함수의 극한

• 극한값이 존재할 조건
  • 좌극한 == 우극한
  • 절댓값이 무한대로 커지는 경우

[그림] 극한값이 존재할 조건

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• 함수 극한의 성질

[그림] 함수 극한의 기본 성질

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• 삼각함수의 극한

[그림] 삼각함수의 극한