[대학수학] 함수의 연산

[함수의 연산]

• 함수의 연산
  • 두 개의 실수 함수 f, g에 대하여 실수의 연산자를 이용해 함수 사이의 연산 정의 가능
  • (f + g)(x) = f(x) + g(x)
  • (f - g)(x) = f(x) - g(x)
  • (fg)(x) = f(x) * g(x)
  • (f/g)(x) = f(x) / g(x), 단, g(x) != 0
  • (af)(x) = a * f(x) 단, a는 임의의 실수

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• 합성 함수
  • 세 개의 집합 X, Y, Z에 대해 다음과 같이 주어지는 두 개의 함수
    • f : X → Y, g : Y → Z
  • 이러한 두 함수를 연결하여 생각하면 X의 임의의 원소 x의 f에 의한 함숫값 f(x)가 정해짐
  • 다음에 f(x)의 g에 의한 함숫값으로서 Z의 원소 g(f(x))가 정해짐

합성함수
- 두 함수가 f : X → Y와 g : Y → Z일 때,
  g ∘ f : X → Z 는 (g ∘ f)(x) = g(f(x))로 정의

[그림] 합성함수

 

• 일반적으로 f ∘ g != g ∘ f이므로 함수에서는 교환법칙이 성립하지 않음
• 예외
  • f ∘ f^(-1), f^(-1) ∘ f와 같이 f, g가 함수와 역함수의 관게라면 합성함수는 순서에 상관없이 항등함수(x)가 되므로 예외적 경우도 존재